近世代数（二）群

二、群

2.1 群的定义和性质

定义2.1：如果非空集合\(G\)有代数运算\(\circ\)满足以下条件：

• 结合律成立，即对\(G\)中任意元素\(a,b,c\)都有 \[ (a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c) \]

• \(G\)中有元素\(e\)，叫做\(G\)的左单位元，它对\(G\)中每个元素\(a\)都有 \[ e\circ a=a \]

• 对\(G\)中每个元素\(a\)，在\(G\)中都有元素\(a^{-1}\)，叫做\(a\)的左逆元，使 \[ a^{-1}\circ a=e \]

则称\(G\)对这个代数运算作成一个群。

如果对群\(G\)中任二元素\(a,b\)均满足交换律，即 \[ a\circ b=b\circ a \] 则称\(G\)为交换群（Abel群），否则称\(G\)为非交换群（非Abel群）。

常把群的代数运算叫做“乘法”，并把\(a\circ b\)简写为\(ab\)。

如果一个交换群\(G\)的代数运算用“\(+\)”表示，常称其为加群，此时单位元用\(0\)表示（称为零元），元素\(a\)的逆元用\(-a\)表示（称为负元）。

一个群如果只包含有限个元素，则称为有限群，否则称为无限群。如果一个有限群\(G\)中所含元素的个数为\(n\)，则称\(n\)为群\(G\)的阶，记为\(|G|=n\)；无限群的阶为无限。

例2.1：全体\(n\)次单位根（\(z^n=1\)的\(n\)个复根）对于数的普通乘法作成一个群。这个群记为\(U_n\)，称为\(n\)次单位根群，它是一个\(n\)阶有限交换群。

定理2.1：群\(G\)的左单位元也是右单位元，并且是唯一的。

证明：设\(e\)是群\(G\)的左单位元。根据群的定义，对于\(G\)中任意元素\(a\)，有\(a^{-1},a'\in G\)，使\(a^{-1}a=e,a'a^{-1}=e\)。因此有 \[ \begin{align} ae&=e(ae)=a'a^{-1}(ae)=a'(a^{-1}a)e=a'ee=a'e\\ &=a'(a^{-1}a)=(a'a^{-1})a=ea=a \end{align} \] 下证唯一性：设\(e\)和\(e'\)都是群\(G\)的左单位元，由上知\(e'\)也是右单位元，从而有 \[ ee'=e',\quad ee'=e \] 因此\(e'=e\)。

以后称\(e\)为群\(G\)的单位元。

定理2.2：群\(G\)中的元素\(a\)的左逆元\(a^{-1}\)也是\(a\)的右逆元，并且是唯一的。

证明同理。以后称\(a^{-1}\)为元素\(a\)的逆元。

推论2.3：在群中消去律成立，即 \[ \begin{align} ab=ac&\Rightarrow b=c\\ ba=ca&\Rightarrow b=c \end{align} \]

证明：两边同时乘以逆元\(a^{-1}\)即可。

2.2 群中元素的阶

任取\(a\in G\)，\(n\)是一个正整数，规定 \[ \begin{align} &a^0=e\\ &a^n=aa\cdots a\quad(n个a)\\ &a^{-n}=(a^{-1})^n=a^{-1}a^{-1}\cdots a^{-1}\quad(n个a^{-1}) \end{align} \] 易知指数的运算法则（如\(a^ma^n=a^{m+n}\)）也同样适用。

定义2.2：设\(a\)为群\(G\)的一个元素，使 \[ a^n=e \] 的最小正整数\(n\)叫做元素\(a\)的阶，用\(|a|\)表示。

如果这样的\(n\)不存在，则称\(a\)的阶为无限。

定理2.4：设群\(G\)中元素\(a\)的阶是\(n\)，则\(a^m=e\Leftrightarrow n\mid m\)。

证明：参见初等数论 - 定理4.1第2条。

定理2.5：若群中元素\(a\)的阶是\(n\)，则 \[ |a^k|=\frac{n}{(k,n)} \] 其中\(k\)为任意整数，\((k,n)\)为\(k\)与\(n\)的最大公因数。

证明：参见初等数论 - 定理4.2。

定理2.6：若群中元素\(a\)的阶是\(m\)，元素\(b\)的阶是\(n\)，则当\(ab=ba\)且\((m,n)=1\)时，有\(|ab|=mn\)，即\(|ab|=|a|\cdot|b|\)。

证明：参见初等数论 - 定理4.6。

该定理说明当\(a,b\)不满足假设条件时，乘积\(ab\)的阶无法根据\(a,b\)的阶来作出推断。特别注意\(ab=ba\)的条件，如下面的例子。

例2.2：有理数域上的二阶线性群\(GL_2(\mathbb Q)\)中，易知 \[ a= \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} ,\quad b= \begin{pmatrix} 0&1\\ -1&-1 \end{pmatrix} \] 的阶分别为\(4,3\)，但其乘积 \[ ab= \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix} \] 的阶为无限。

定理2.7：设\(G\)为交换群，且\(G\)中所有元素有最大阶\(m\)，则\(G\)中每个元素的阶都是\(m\)的因数。从而群\(G\)中每个元素均满足方程\(x^m=e\)。

证明：大致思路如下，如果存在元素的阶\(n\)不是\(m\)的因数，则\(n\)与\(m\)至少相差一个素数\(p\)，假设\(|b|=p\)，由定理2.6，\((p,m)=1\)，则\(|ab|=mp>m\)，与\(m\)是最大的阶矛盾。

2.3 子群

定义2.3：设\(G\)是一个群，\(H\)是\(G\)的一个非空子集。如果\(H\)本身对\(G\)的乘法也作成一个群，则称\(H\)为\(G\)的一个子群，记作\(H\le G\)。

如果\(|G|>1\)，则群\(G\)至少有两个子群，即\(\{e\}\)和\(G\)本身，这两个子群称为平凡子群。别的子群叫做非平凡子群或真子群，记作\(H<G\)。

显然，子群\(H\)的单位元就是群\(G\)的单位元，\(H\)中元素\(a\)在\(H\)中的逆元就是\(a\)在\(G\)中的逆元。

例2.3：全体\(n\)的整倍数作成的集合 \[ \{\cdots,-2n,-n,0,n,2n,\cdots\} \] 都是整数加群的子群。

定理2.8

• 群\(G\)的一个非空子集\(H\)作成子群的充要条件是 \[ \begin{align} &1)\quad a,b\in H\Rightarrow ab\in H\\ &2)\quad a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H \end{align} \]

• 群\(G\)的一个非空子集\(H\)作成子群的充要条件是 \[ a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H \]

这两条都可以分别推出群\(H\)的单位元和逆元存在，从而满足群的定义，不再证明。

定义2.4：设\(A,B\)是群\(G\)的任二非空子集，规定 \[ AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\},\quad A^{-1}=\{a^{-1}\mid a\in A\} \] 分别称\(AB\)为\(A\)与\(B\)的乘积，\(A^{-1}\)为\(A\)的逆。

易知对于群的任意三个非空子集\(A,B,C\)，均有 \[ \begin{align} (AB)C&=A(BC)\\ A(B\cup C)&=AB\cup AC\\ (AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1}\\ (A^{-1})^{-1}&=A \end{align} \] 由定理2.8可以得到如下推论。

推论2.9

• 设\(H\)是群\(G\)的一个非空子集，则 \[ H\le G\Leftrightarrow HH=H\ 且\ H^{-1}=H \]

• 设\(H\)是群\(G\)的一个非空子集，则 \[ H\le G\Leftrightarrow HH^{-1}=H \]

一个群的两个子群的乘积一般不再是子群，但交换群的任二子群之积必仍为子群。

2.4 循环群

定义2.5：称\(\left<M\right>\)为群\(G\)中由子集\(M\)生成的子群，并把\(M\)叫做这个子群的生成系。

定义2.6：如果群\(G\)可以由一个元素\(a\)生成，即 \[ G=\left<a\right>=\{\cdots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\cdots\} \] 则称\(G\)为由\(a\)生成的一个循环群，并称\(a\)为\(G\)的一个生成元。

易知循环群必为交换群。

定理2.10：设\(G=\left<M\right>\)为任一循环群，则

• 当\(|a|=\infty\)时，\(G=\left<a\right>=\{\cdots,a^{-2},a^{-1},a^0,a^1,a^2,\cdots\}\)为无限循环群，且与整数加群\(\mathbb Z\)同构。
• 当\(|a|=n\)时，\(G=\left<a\right>=\{e,a,a^2,\cdots\}\)为\(n\)阶循环群，且与\(n\)次单位根群\(U_n\)同构（或与模\(n\)的剩余类加群同构）。

证明：构造同构映射即可。

• 令\(\varphi:a^m\to m\)，满足\(\varphi(a^s\cdot a^t)=\varphi(a^{s+t})=s+t=\varphi(a^s)+\varphi(a^t)\)。
• 对于\(n\)次单位根群，令\(\varphi:a^m\to \varepsilon^m\)（\(\varepsilon\)为\(n\)次原根）；对于模\(n\)的剩余类加群，令\(\varphi:a^m\to m\)。

上述定理说明：在同构的意义下，循环群只有两种，即整数加群和\(n\)次单位根群。

定理2.11：无限循环群\(\left<a\right>\)有两个生成元，即\(a\)与\(a^{-1}\)；\(n\)阶循环群有\(\varphi(n)\)个生成元，其中\(\varphi(n)\)为欧拉函数。

证明：由定理2.5，\(a^k\)的阶是\(n\)当且仅当\((k,n)=1\)，这样的\(k\)有\(\varphi(n)\)个。

定理2.12：循环群的子群仍为循环群。

证明：\(H=\{e\}\)时易知成立，下设\(H\ne\{e\}\)。

• 设\(a^m\)为\(H\)中\(a\)的最小正幂，于是\(\left<a^m\right>\subseteq H\)。
• 另一方面，任取\(a^s\in H\)，令\(s=mq+r,\quad(0\le r<m)\)，由于\(a^s,a^m\in H\)，所以\(a^r=a^{s-mq}=a^s\cdot(a^m)^{-q}\in H\)。但\(a^m\)是最小正幂，因此\(r=0\)，所以\(a^s=(a^m)^q\in\left<a^m\right>\)，即\(H\subseteq\left<a^m\right>\)。

从而\(H=\left<a^m\right>\)。