近世代数（一）基本概念

一、基本概念

本章直接给出定义与结论，不再证明。

1.1 集合

常用\(\mathbb Z\)表示整数集，\(\mathbb Z^*\)表示非零整数集；用\(\mathbb Q\)表示有理数集，\(\mathbb Q^*\)表示非零有理数集。

幂集：集合\(A\)的所有子集的集合，记作\(P(A)\)。

1.2 映射与变换

映射：\(A\)与\(B\)是两个集合，法则\(\varphi\)使得对于\(A\)中的每个元素\(x\)，在\(B\)中都有唯一确定的元素\(y\)与之对应。表示为：\(\varphi:x\to y\)或\(y=\varphi(x)\)。\(y\)叫做像，\(x\)叫做原像（逆像）。

满射：\(B\)中的每个元素在\(A\)中都有原像。

单射：\(A\)中不同的元素在\(B\)中像不同。

双射：既是满射又是单射。

逆映射：\(\varphi^{-1}:y\to x\)或\(\varphi^{-1}(y)=x\)。只有双射才有逆映射。

映射的相等：对于\(A\)中每个元素\(x\)都有\(\sigma(x)=\tau(x)\)。

映射的合成（乘法）：\(\sigma\tau(x)=\sigma(\tau(x))\)。

集合\(A\)到自身的映射叫做集合\(A\)的一个变换。每个元素与自身对应的变换称为恒等变换。

1.3 代数运算

设\(M\)是一个集合。如果有一个法则“\(\circ\)”，它对\(M\)中任意两个有次序的元素\(a\)与\(b\)，在\(M\)中都有一个唯一确定的元素\(d\)与它们对应，则称这个法则是集合\(M\)的一个代数运算，记为：\(a\circ b=d\)。

有代数运算的集合，简称为代数系统。

设\(M\)是任意一个非空集合，用\(T(M)\)表示\(M\)的全体变换作成的集合，任取\(\sigma,\tau\in T(M)\)，则\(\sigma\tau(x)=\sigma(\tau(x))\)也是\(M\)的变换，称为变换的乘法，它是\(T(M)\)的一个代数运算。

用\(\varepsilon\)表示集合\(M\)的恒等变换，则对任意的\(\sigma\in T(M)\)有：\(\sigma\varepsilon(x)=\varepsilon\sigma(x)=\sigma(x)\)。

1.4 运算律

结合律：代数运算\(\circ\)对\(M\)中任意元素\(a,b,c\)都有：\((a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)\)。

易知变换的乘法满足结合律。

只有当\(\circ\)满足结合律时，几个元素的运算才不用加括号，写法\(a\circ b\circ c\)才有意义。

交换律：代数运算\(\circ\)对\(M\)中任意元素\(a,b\)都有：\(a\circ b=b\circ a\)。

分配律：两个代数运算\(\circ\)和\(\oplus\)对\(M\)中任意元素\(a,b,c\)都有：

• 左分配律：\(a\circ(b\oplus c)=(a\circ b)\oplus(a\circ c)\)。
• 右分配律：\((b\oplus c)\circ a=(b\circ a)\oplus(c\circ a)\)。

1.5 同态与同构

定义1.1：设集合\(M\)与\(\overline M\)各有代数运算\(\circ\)及\(\overline\circ\)，且\(\varphi\)是\(M\)到\(\overline M\)的一个映射，如果\(\varphi\)保持运算，即对\(M\)中的任意元素\(a,b\)，在\(\varphi\)之下由 \[ a\to\overline a,\quad b\to\overline b \] 总可得 \[ a\circ b\to\overline a\overline\circ\overline b \] 亦即\(\varphi(a\circ b)=\varphi(a)\overline\circ\varphi(b)\)，则称\(\varphi\)为代数系统\(M\)到\(\overline M\)的一个同态映射，若\(\varphi\)又是满射，则称\(\varphi\)为同态满射。若\(M\)到\(\overline M\)存在同态满射，则简称\(M\)与\(\overline M\)同态，记为 \[ M\sim\overline M \]

当\(\circ\)满足结合或交换律时，\(\overline\circ\)也满足结合或交换律。

定义1.2：设\(\varphi\)是\(M\)到\(\overline M\)的一个同态满射，如果\(\varphi\)又是单射（即\(\varphi\)是双射），则称\(\varphi\)是\(M\)到\(\overline M\)的一个同构映射。若\(M\)到\(\overline M\)存在同构映射，则简称\(M\)与\(\overline M\)同构，记为 \[ M\cong\overline M \]

\(M\)到自身的同态映射，称为\(M\)的自同态映射，简称\(M\)的自同态。自同构映射与自同构同理。

例1.1：设\(M\)是整数集，\(\overline M\)是偶数集，则对于加法来说，映射 \[ \varphi:n\to2n \] 是\(M\)到\(\overline M\)的一个同构映射。对乘法来说则不是。

对于代数系统\(M\)，易知恒等映射是\(M\)到\(M\)的同构映射；若\(\varphi\)是\(M_1\)到\(M_2\)的同构映射，则其逆映射\(\varphi^{-1}\)是\(M_2\)到\(M_1\)的同构映射；若\(\tau\)是\(M_1\)到\(M_2\)的同构映射，\(\sigma\)是\(M_2\)到\(M_3\)的同构映射，则乘积\(\sigma\tau\)是\(M_1\)到\(M_3\)的同构映射。

如果两个代数系统\(M\)与\(\overline M\)同构，则说明除了元素本身的性质、代数运算名称及所用的符号不同之外，从运算的性质看，\(M\)与\(\overline M\)没有任何实质性的差别。

1.6 等价关系与集合的分类

设\(M\)是一个集合，如果有一个法则\(R\)，它对\(M\)中的任意两个元素\(a,b\)可以确定“是”或“不是”符合这个法则，则称此法则为\(M\)的一个关系。当\(a,b\)符合这一法则时记为\(aRb\)，否则记为\(a\overline Rb\)。

等价关系：满足自反性、对称性、传递性的关系。

若把集合\(M\)的全体元素分成若干互不相交的子集，则称每个这样的子集为\(M\)的一个类，类的全体叫做\(M\)的一个分类。

集合\(M\)的一个等价关系确定\(M\)的一个分类。