高等数学（七）多元函数积分
七、多元函数积分
7.1 二重积分
7.1.1 直角坐标
定积分表示曲边梯形的有向面积，类似地，二重积分可以理解为曲顶柱体的有向体积。二元函数的面积微元记作\(d\sigma\)，在直角坐标系下\(d\sigma=dxdy\)。
那么如何计算这个柱体的体积呢？利用微元法，我们可以将柱体切成一个个薄片，用定积分计算每个薄片的面积，乘以厚度，再累加。归纳为计算步骤就是将二重积分转化为两个定积分（累次积分），至于先计算哪个又可以分为：
先y后x
\[ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy \]
先x后y
\[ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_c^ddy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx \]
至于计算时到底用哪种，可以根据区域的形状来决定。如果两种都可以，那么建议你一定要想清楚是先积\(x\)还是先积\(y\)，有时候次序不同，求解的复杂度天差地别。
7.1.2 极坐标
极坐标系的面积微元稍有些复杂，如上图所示，\(d\sigma\)为扇环上的一小片，弧度从\(\theta\)到\(\theta+d\theta\)，极径从\(r\)到\(r+dr\)，因此面积微元可以表示为 \[ \begin{align} d\sigma&=\frac{1}{2}(r+dr)^2d\theta-\frac{1}{2}r^2d\theta\\ &=\frac{2r+dr}{2}drd\theta\\ &=rdrd\theta \end{align} \] 因此将\(x\)替换为\(r\cos\theta\)，\(y\)替换为\(r\sin\theta\)，\(dxdy\)替换为\(rdrd\theta\)，则极坐标下的二重积分公式如下。 \[ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(x)}^{r_2(x)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr \]
7.1.3 二重积分换元法
换元法算是求解积分的一大杀器，有些难以计算的积分通过换元可以变成简单的形式。但二重积分的换元稍有些繁琐，如果用得不熟练，考试时也很难派上用场，因此这节就简单介绍和推导一下换元公式，理解原理之后应该会有助于运用。
假如有二重积分\(\iint\limits_Df(x,y)dxdy\)，我们通过以下换元将\(x\)和\(y\)替换为\(u\)和\(v\)， \[ \begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v) \end{cases} \] 对应的积分区域也从\(D\)变为\(D'\)，现在的问题是微分\(dxdy\)该如何替换为\(dudv\)。
如下图，xy坐标系中的\(M_1\sim M_4\)分别对应uv坐标系中的\(M_1'\sim M_4'\)。设uv坐标系中四个点的坐标分别如下，则阴影部分面积为\(dudv\)。
| 点 | 坐标 |
|---|---|
| \(M_1'\) | \((u,v)\) |
| \(M_2'\) | \((u+du,v)\) |
| \(M_3'\) | \((u+du,v+dv)\) |
| \(M_4'\) | \((u,v+dv)\) |
根据\(x=x(u,v),y=y(u,v)\)，xy坐标系中四个点的坐标对应为：
| 点 | 坐标 |
|---|---|
| \(M_1\) | \(x_1=x(u,v)\) \(y_1=y(u,v)\) |
| \(M_2\) | \(x_2=x(u+du,v)=x(u,v)+x_u(u,v)du\) \(y_2=y(u+du,v)=y(u,v)+y_u(u,v)du\) |
| \(M_3\) | \(x_3=x(u+du,v+dv)=x(u,v)+x_u(u,v)du+x_v(u,v)dv\) \(y_3=y(u+du,v+dv)=y(u,v)+y_u(u,v)du+y_v(u,v)dv\) |
| \(M_4\) | \(x_4=x(u,v+dv)=x(u,v)+x_v(u,v)dv\) \(y_4=y(u,v+dv)=y(u,v)+y_v(u,v)dv\) |
观察可以发现，\(M_1\sim M_4\)构成了一个平行四边形，其面积计算如下（最后结果取绝对值）： \[ \begin{align} S_{M_1M_2M_3M_4}&=2S_{\triangle M_1M_2M_4}\\ &=|M_1M_2||M_1M_4|\sin\angle M_2M_1M_4\\ &=\left|\overrightarrow{M_1M_2}\times\overrightarrow{M_1M_4}\right|\\ &=\begin{vmatrix} \pmb{i}&\pmb{j}&\pmb{k}\\ x_udu&y_udu&0\\ x_vdv&y_vdv&0 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x_udu&y_udu\\ x_vdv&y_vdv \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} x_u&y_u\\ x_v&y_v \end{vmatrix}dudv =\begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix}dudv \end{align} \] 记 \[ J=\begin{vmatrix} x_u&x_v\\ y_u&y_v \end{vmatrix} =\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| \] 为雅可比行列式，则二重积分的换元公式为： \[ \iint\limits_Df(x,y)dxdy=\iint\limits_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv \] 所以换元的核心其实是求\(|J|\)，我之前总是怕行列式的几项写错位置，但实际上只要左上角是\(x_u\)，\(x_v\)在右上或左下都无所谓。
以极坐标为例： \[ \begin{cases} x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta \end{cases} \]
\[ J=\begin{vmatrix} x_r&x_\theta\\ y_r&y_\theta \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta \end{vmatrix} =r \]
因此\(d\sigma=dxdy=rdrd\theta\)。
7.2 三重积分
7.2.1 直角坐标
将\(f(x,y,z)\)当成密度函数，那么三重积分就表示三维物体的质量。计算方法所谓先一后二、先二后一，其实和求二重积分的思想类似，怎么方便怎么来就行。
7.2.2 柱坐标
在极坐标的基础上增加了z轴，微元变为\(rdrd\theta dz\)。 \[ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dv=\iiint\limits_\Omega f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz \]
7.2.3 球坐标
与直角坐标的变换如下： \[ \begin{cases} x=r\sin\varphi\cos\theta\\ y=r\sin\varphi\sin\theta\\ z=r\cos\varphi \end{cases} \] \(\varphi\)为与z轴正方向的夹角，\(0\le\varphi\le\pi\)；\(0\le\theta\le2\pi\)；\(0\le r<+\infty\)。
球坐标系的微元如上图，近似为一个长方体，高为\(dr\)。将其底面想象成是地球经纬的一格，那么微元的纬度跨度为\(rd\varphi\)，经度跨度为\(r\sin\varphi d\theta\)，乘起来可得\(dv=r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta\)。 \[ \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dv=\iiint\limits_\Omega f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi drd\varphi d\theta \]
7.3 第一型曲线积分
在学习第一第二型曲线积分和曲面积分的时候，最重要的就是记住它们的物理意义，这对于理解帮助极大。
第一型曲线积分也叫对弧长的曲线积分，它的物理意义是曲线的质量，用这简单的五个字完美地概括了第一型曲线积分的定义和性质。\(f(x,y)\)代表曲线\(L\)在该点的线密度，将曲线分成无数小段，将每一小段的长度乘以线密度再相加就是曲线的质量，记作 \[ \int_Lf(x,y)ds \] 另外因为它表示的是质量，一个标量，所以不论从哪个方向开始计算结果都是一样的，也就是第一型曲线积分与曲线的方向无关。
具体计算时，最重要的就是用合理的形式表示出\(ds\)，比如曲线是由如下参数方程确定的 \[ \begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases} \ \ \ \ \ (\alpha\le t\le\beta) \] 则由\(ds\)的几何意义可知 \[ ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt \] 因此 \[ \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt \] 如果曲线由\(y=y(x)\)确定，则相当于参数方程的特殊形式。 \[ \int_Lf(x,y)ds=\int_{x_1}^{x_2}f[x,y(x)]\sqrt{1+y'^2(x)}dx \]
7.4 第二型曲线积分
第二型曲线积分的物理意义是变力沿曲线做功。设力为\(\pmb{F}(x,y)\)，它是一个矢量，曲线为\(L\)，还是采用微元法，在极小的一段中力可以视为恒定的，位移为\(d\pmb{r}\)，也是矢量，则做功为\(\pmb{F}(x,y)\cdot d\pmb{r}\)，因此第二型曲线积分用矢量来表示就是 \[ \int_L\pmb{F}(x,y)\cdot d\pmb{r} \] 我们往往把矢量的计算转换到xy两个方向上，设力在xy方向上的分力为\(P\)和\(Q\)，即\(\pmb{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))\)，\(d\pmb{r}\)也可以写作\((dx,dy)\)，所以就是 \[ \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy \] 因为物理意义是做功，所以如果沿曲线反向运动做功应当是负的，即第二型曲线积分与曲线方向有关。
虽然第二型曲线积分理解起来可能比第一型曲线积分难一点，但由于它把做的总功拆成了xy两个方向的做功，所以计算起来反而很简单。\(\int_LP(x,y)dx\)即x方向上的做功，只需要根据曲线的表达式将y代换成x就可以当成普通的定积分计算了，当然采用参数方程的话就把\(x\)和\(y\)都代换为\(t\)然后按定积分计算。
比如：设\(L\)为抛物线\(y^2=x\)上从点\(A(1,-1)\)到点\(B(1,1)\)的一段弧，求\(\int_Lxydx\)。
解1：x方向上的做功分为两段来求 \[ \begin{align} \int_Lxydx&=\int_{AO}xydx+\int_{OB}xydx\\ &=\int_1^0x(-\sqrt{x})dx+\int_0^1x\sqrt{x}dx\\ &=\frac{4}{5} \end{align} \]
解2：转化为对y的积分可以避免分段 \[ \int_Lxydx=\int_{-1}^1y^2y\cdot d(y^2)=\int_{-1}^12y^4dy=\frac{4}{5} \] 这里我一开始很迷惑为什么x方向的做功可以转化到y方向，其实不是的，本质上还是x方向的做功，只不过根据\(x\)和\(y\)的数量关系而进行了变化，因为x方向的微小位移\(dx\)数量上等于\(d(y^2)\)，所以这么计算是可以的。
两类曲线积分的联系 \[ \int_LPdx+Qdy=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds \] 可以从微元的几何意义上理解，因为显然\(\cos\alpha\cdot ds=dx\)，\(\cos\beta\cdot ds=dy\)；也可以从物理意义解释，左边是把总功分成x方向和y方向分开计算，右边是计算了力\(P,Q\)在运动方向的分力之和（相当于第一型曲线积分中线密度函数的意义变为沿运动方向的力），这样直接力乘以路程就是总功了。
7.5 格林公式
首先介绍边界曲线的正方向，如下图所示，规定\(L\)的正方向定义为：沿\(L\)行走，区域\(D\)总是在它的左边。按此定义，下图中内边界和外边界的方向是一顺一逆的。
格林公式：设闭区域\(D\)由分段光滑的曲线\(L\)围成，若函数\(P(x,y)\)及\(Q(x,y)\)在\(D\)上具有一阶连续偏导数，则有 \[ \iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_LPdx+Qdy \] 其中\(L\)是\(D\)的取正向的边界曲线。
先不论定理的原理和证明，从表达式上看，格林公式将二重积分（对区域\(D\)的积分）与第二型曲线积分（对边界曲线\(L\)的积分）联系在一起。初学时可能会觉得很抽象，为什么区域内部的积分会和区域边界的积分有关系呢，区域内部的变化难道还能影响到边界？
其实格林公式就好像二维的的牛顿莱布尼兹公式，且听我道来。这里用路程和速度的例子来解释一元函数的情况：如果知道每个时刻的路程，那么可以求得每个时刻的速度（求导）；反过来如果知道每个时刻的速度，那么也可以求得给定时间所走的路程（积分）。这里首尾的路程就是“边界”，中间的速度就是“边界内的区域”，通过中间的速度可以求出最终的路程，通过两端的路程（这里的两端可以取得任意小）也可以求出其中每一刻的速度，所以“边界”和“边界内的区域”理应是相互联系的。
回到二维的情况，想象一片崎岖的山丘，在上面围一个区域。如果你知道了这个区域每个点的起伏情况（全微分），那么边界的高低一定能够得知；反过来如果允许你在这片区域内任意划定子区域（可以任意小），你可以测量子区域边界的高度，那整个区域的起伏不也能得出吗？因此区域的起伏情况和边界的高度是息息相关的，可以说正是因为起伏才决定了边界高度，而边界的高度又是起伏的反映。
相信上面的叙述多少让你理解格林公式的意义了，下面从做功的角度来简单证明一下。这里使用微元法，如下图，将区域分割为许多个小正方形。以其中一个正方形为例，设正方形的边界曲线为\(l\)，点的坐标及各边均如图，边界曲线均取正向。
该正方形的第二型曲线积分，即力沿\(L_1\to L_2\to L_3\to L_4\)所做的功计算如下： \[ \begin{align} \oint_lPdx+Qdy&=\int_{L_1}Pdx+\int_{L_3}Pdx+\int_{L_2}Qdy+\int_{L_4}Qdy\\ &=\int_{a_0}^{a_1}P(x,b_0)dx+\int_{a_1}^{a_0}P(x,b_1)dx+\\ &\ \ \ \ \int_{b_0}^{b_1}Q(a_1,y)dy+\int_{b_1}^{b_0}Q(a_0,y)dy\\ &=\int_{a_0}^{a_1}[P(x,b_0)-P(x,b_1)]dx+\int_{b_0}^{b_1}[Q(a_1,y)-Q(a_0,y)]dy \end{align} \] 到这一步，可以看出：x方向的功是\(L_1\)和\(L_3\)上做功之差（因为方向相反），由于移动距离相同，因此做功取决于力的差值，即\(P(x,b_0)-P(x,b_1)\)，而差值的存在是纵坐标不同导致的，因此可以用\(P\)对\(y\)的偏导数来衡量，即 \[ P(x,b_0)-P(x,b_1)=\int_{b_1}^{b_0}\frac{\partial P}{\partial y}dy=-\int_{b_0}^{b_1}\frac{\partial P}{\partial y}dy \] 对y方向也作同样考虑： \[ Q(a_1,y)-Q(a_0,y)=\int_{a_0}^{a_1}\frac{\partial Q}{\partial x}dx \] 代入之前的结果可得： \[ \begin{align} \oint_lPdx+Qdy&=-\int_{a_0}^{a_1}\int_{b_0}^{b_1}\frac{\partial P}{\partial y}dxdy+\int_{b_0}^{b_1}\int_{a_0}^{a_1}\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy\\ &=\int_{b_0}^{b_1}\int_{a_0}^{a_1}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\\ &=\iint_{D_1}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy \end{align} \] 这样沿一个小正方形的边长所做的功就表示出来了，接下来就要扩展到整个区域，这一步是精髓所在。注意到相邻的两个小正方形，如下图，当力分别沿这两个正方形做功时，相邻边上的功正好相抵。更一般地，将许多相邻的正方形拼接起来，力做的功只与边界有关，内部所有的功都会抵消。所以我们将整个区域\(D\)近似成无数个小正方形，它们的边界就是区域的边界\(L\)，将上式的\(D_1\)和\(l\)替换为\(D\)和\(L\)就得到格林公式了。
相信许多人用格林公式的时候都会犹豫，到底是谁对谁的偏导。现在理解了上述证明你应该就能自己推断了，想象那个小正方形，横向的力是\(P\)，为什么横向会做功，是因为\(P\)在不同纵坐标是不同的，因此\(P\)应该对\(y\)求偏导。
7.6 第一型曲面积分
\[ \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS \]
将函数\(f(x,y,z)\)当成密度函数，第一型曲面积分的物理意义就是曲面的质量，既然是质量那么与曲面的方向就无关了。
第一型曲面积分计算的核心是面积微元的表示，即建立面积微元\(dS\)与其投影\(dxdy\)的关系。
如上图所示，右图是侧视图，不难看出\(dS=\frac{dxdy}{\cos\theta}\)。红色箭头表示法向量，上一章最后提到空间曲面的法向量为\((F'_x,F'_y,F'_z)\)，如果曲面方程为\(z=z(x,y)\)，则法向量化简为\((z'_x,z'_y,-1)\)，因此\(\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+{z'}_x^2+{z'}_y^2}}\)，所以有 \[ dS=\sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}dxdy \] 最终第一型曲面积分计算如下。 \[ \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z'^2_x+z'^2_y}dxdy \]
7.7 第二型曲面积分
\[ \iint\limits_\Sigma P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy \]
第二型曲面积分的物理意义是（单位时间）流过曲面正向的流量，其中\(P,Q,R\)函数表示xyz方向上流体的速度，即速度场为： \[ \pmb{v}(x,y,z)=P(x,y,z)\pmb{i}+Q(x,y,z)\pmb{j}+R(x,y,z)\pmb{k} \]
注意第二型曲面积分中需要指定曲面的正向，积分值与面的取向有关。如果流体速度方向与正向法向量夹角为锐角，则流量取正；反之则相当于流体倒着往回流，流量取负。
下面还是从流量微元说起，如上图的曲面微元\(A\)，流经\(A\)的流体速度为\(\pmb{v}\)，\(A\)的正向单位法向量为\(\pmb{n}\)，则单位时间内流过\(A\)的流体形状应为右图所示的斜柱体，其体积为： \[ A|\pmb{v}|\cos\theta=A\pmb{v}\cdot\pmb{n} \] 这样正负就蕴含在点乘之中了，如果夹角为钝角，那么自然\(\pmb{v}\cdot\pmb{n}\)为负。接下来将整个曲面划分为无数个这样的微元，如下图，其中速度微元和单位法向量表示如下。 \[ \begin{align} \pmb{v}&=P(x,y,z)\pmb{i}+Q(x,y,z)\pmb{j}+R(x,y,z)\pmb{k}\\ \pmb{n}&=\cos\alpha\pmb{i}+\cos\beta\pmb{j}+\cos\gamma\pmb{k} \end{align} \]
注意到\(\cos\alpha\cdot dS=dydz\)，其余同理，则第二型曲面积分就表示为： \[ \begin{align} \iint\limits_\Sigma\pmb{v}\cdot\pmb{n}dS&=\iint\limits_\Sigma [P(x,y,z)\cos\alpha+Q(x,y,z)\cos\beta+R(x,y,z)\cos\gamma]dS\\ &=\iint\limits_\Sigma P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy \end{align} \]
以上是对第二型曲面积分的理解，下面简单说一下计算。以计算\(\iint\limits_\Sigma R(x,y,z)dxdy\)为例，如果已知\(z=z(x,y)\)，那么直接代入然后按二重积分求解即可，注意正负取决于曲面法向量与z轴正方向的夹角，锐角为正，钝角为负。 \[ \iint\limits_\Sigma R(x,y,z)dxdy=\pm\iint\limits_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]dxdy \]
两类曲面积分的联系 \[ \iint\limits_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iint\limits_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS \]
从上面第二型曲面积分的推导也能隐约感受到这种关系，一方面是微元上\(\cos\alpha\cdot dS=dydz\)。另一方面从物理上，左边是单独计算了三个方向的流量之和，右边是计算了三个方向的流速在法向量方向上的分量之和（相当于第一型曲面积分中面密度函数的意义变为沿法线方向的流速），这样直接流速乘以底面积就是流量了。可以对照一二型曲线积分的联系来理解。
7.8 高斯公式、通量、散度
高斯公式：设空间闭区域\(\Omega\)由分片光滑闭曲面\(\Sigma\)所围成，若函数\(P(x,y,z)\)、\(Q(x,y,z)\)与\(R(x,y,z)\)在\(\Omega\)上具有一阶连续偏导数，则有 \[ \iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv=\iint\limits_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \]
公式渲染问题，等式右边应是二重环路积分\(\unicode{8751}\)。
这里\(\Sigma\)是\(\Omega\)的整个边界曲面的外侧。
一如牛顿莱布尼兹公式将端点函数值和之间的导数联系起来，格林公式将边界曲线与区域内的偏导数联系起来，在三维空间中，高斯公式就将边界曲面与内部空间的偏导数联系起来。证明什么的就不再赘述，前面充分理解了格林公式的话，高斯公式简直不在话下。
在第二型曲面积分中，单位时间流经曲面的流量 \[ \iint\limits_\Sigma\pmb{v}\cdot\pmb{n}dS=\iint\limits_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy \] 称为通量。因此高斯公式的右边部分可以视作单位时间内流出闭区域\(\Sigma\)的流体质量，既然有流体流出，那么内部必须有产生流体的源头，高斯公式左边部分就可以理解为这个源头。其中\(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\)表示一个点产生的源头强度，对其三重积分则表示整个区域的源头强度，从而满足内部产生的流体等于流出的流体。如果源头强度为负则表示内部为吸收流体的负源，外部流体不断流入闭区域。
对于一般的向量场 \[ \pmb{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\pmb{i}+Q(x,y,z)\pmb{j}+R(x,y,z)\pmb{k} \] 我们称\(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\)为向量场\(\pmb{A}\)的散度（通量密度），即 \[ \text{div}\pmb A=\nabla\cdot\pmb A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \]
7.9 斯托克斯公式、环流量、旋度
斯托克斯公式： \[ \iint\limits_\Sigma(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_LPdx+Qdy+Rdz \] 或用行列式形式： \[ \iint\limits_\Sigma \begin{vmatrix} dydz&dzdx&dxdy\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ P&Q&R \end{vmatrix}=\oint_LPdx+Qdy+Rdz \] 其中\(L\)的正向与\(\Sigma\)的法方向符合右手法则。
斯托克斯公式是格林公式在空间的推广，将格林公式中的平面区域扩展到了空间曲面，这里也不再证明。
设向量场 \[ \pmb{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\pmb{i}+Q(x,y,z)\pmb{j}+R(x,y,z)\pmb{k} \] \(L\)是一条分段光滑的有向闭曲线，\(\pmb\tau=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)是\(L\)在点\((x,y,z)\)处的单位切向量，则 \[ \oint_L\pmb A\cdot\pmb\tau ds=\oint_LPdx+Qdy+Rdz \] 称为向量场\(A\)沿\(L\)的环流量。与通量和散度类似，我们定义斯托克斯公式左边的部分为旋度（环量密度），即 \[ \pmb{\text{rot}}\pmb{A}=\nabla\times\pmb A= \left| \begin{matrix} \pmb{i} & \pmb{j} & \pmb{k}\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix} \right| \] 以下理解不一定准确：你可以将环流量想象为绕\(L\)一圈做的功，类似格林公式的微元法，将\(L\)围成的区域分成无数个小正方形，旋度即表示绕单位正方形一圈做的功。当然物理上旋度是用来描述旋转性质的，有兴趣可以自行了解。