高等数学（五）一元函数积分2

5.5 积分的计算

5.5.1 基本积分公式

\[ \begin{align} &\int x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C(\alpha\ne-1)\\ &\int\frac{1}{x}dx=\ln\left|x\right|+C\\ &\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ &\int e^xdx=e^x+C\\ &\int \sin xdx=-\cos x+C\\ &\int \cos xdx=\sin x+C\\ &\int \tan xdx=-\ln\left|\cos x\right|+C\\ &\int \cot xdx=\ln\left|\sin x\right|+C\\ &\int \sec xdx=\ln\left|\sec x+\tan x\right|+C\\ &\int \csc xdx=-\ln\left|\csc x+\cot x\right|+C=\ln\left|\csc x-\cot x\right|+C\\ &\int \sec^2xdx=\tan\ x+C\\ &\int \csc^2xdx=-\cot\ x+C\\ &\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C\\ &\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\\ &\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C\\ &\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \end{align} \]

前几个公式都是由导数公式逆推过来的。\(\sec x\)和\(\csc x\)的公式需要稍微动点脑子，可以这么来想，导数的结果含\(\sec x\)的只有\(\tan x\)和\(\sec x\)，那么\(\sec x\)的积分就应当是这两个的组合，由于\((\sec x)'+(\tan x)'=\sec x\cdot(\tan x+\sec x)\)，所以只需要消去括号里面的就可以得到\(\sec x\)，这一点通过\(\ln\)可以实现。\(\csc x\)的积分也可以这么考虑，\((-\csc x)'+(-\cot x)'=\csc x\cdot(\cot x+\csc x)\)，这样算出来就是上面\(\csc x\)积分公式的第一个结果，教材和参考书大多给的是第二种，自己算一下可以发现他们完全等价。

最后四个公式形式有些许相似：\(\frac{1}{a^2+x^2}\)要想到\(\arctan\)函数，上下同时除以\(a^2\)，同时拿一个\(a\)到微分中（凑微分），所以前面有系数\(\frac{1}{a}\)；\(\frac{1}{a^2-x^2}\)可以直接拆开；\(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\)要想到\(\arcsin\)函数，但由于有根号，所以只需要上下同时除以\(a\)，这个\(a\)恰好又被拿进微分了，所以前面没有系数；\(\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\)是用第二类换元法将\(x\)换成三角函数求出来的，自己求一遍稍微记一记就好。

另外学有余力的也建议自己推导和记忆下面的两个公式： \[ \begin{align} &\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C\\ &\int\sqrt{x^2\pm a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \end{align} \]

5.5.2 不定积分第一类换元法

第一类换元法其实从使用的角度来说很简单，就是凑微分，找到中间函数\(u\)，写成\(\int f(u)du\)的形式，然后求出积分再代回来就可以了，用熟练之后可以省略代换成\(u\)的过程。仅此而已，计算就是这么简单。

但是不知道各位读者在使用的时候有没有一丝疑惑，比如 \[ \int\frac{2x}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{x^2+1}d(x^2) \] 为什么\(2x\)可以直接拿到微分里，不定积分的定义中\(f(x)dx\)不是称之为被积表达式，是一个整体吗？我就曾有这种疑惑，下面来好好整理一下这方面的思路，在此，请放下之前对第一类换元法的理解，重新来看待它。

其实第一类换元法就是复合函数求导的逆向思维，比如\(F(x)\)的导数是\(f(x)\)，则复合函数\(F(\varphi(x))\)的导数是\(f(\varphi(x))\varphi'(x)\)，写成积分的形式就是 \[ F(\varphi(x))=\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx \] 这就是第一类换元法，其实根本和中间函数\(u\)就没有关系，全部都可以用\(x\)来表示。这一表达式是完全没有争议的，右边有\(dx\)，是一个标准的被积表达式。在复合函数中我们通常设一个中间函数\(u=\varphi(x)\)，现在将它引入到上面的公式，\(F(u)=\int f(u)\varphi'(x)dx\)，而\(du\)的结果恰好就是\(\varphi'(x)dx\)，因此可以写成 \[ F(u)=\int f(u)du \] 这体现了一阶微分的形式不变性，引入中间函数可以使表达式十分简洁，这个被积表达式也很标准，但如果把\(u=\varphi(x)\)再代回去 \[ F(\varphi(x))=\int f(\varphi(x)d(\varphi(x)) \] 这时微分中就不是\(x\)了，而是一个函数，这个被积表达式并不标准，但我们明白它的意思，\(d(\varphi(x))\)就表示\(\varphi'(x)dx\)，所以你可以把它想成是一种补充的定义，实际上还是用的是\(f(\varphi(x))\varphi'(x)dx\)。这样写其实是很自然的，因为\(\varphi(x)\)的微分就等于\(\varphi'(x)dx\)，这样一来，我们就不必把\(f(x)dx\)看成被积表达式这个整体了，而是可以把\(f(x)\)和\(dx\)拆开来看，这样积分也就更加灵活了。

可能我上面说了半天有些读者觉得是废话，但我自己真的是这样一步一步理解过来的，刚学不定积分的时候书上说的就是\(f(x)dx\)叫做被积表达式，当时觉得\(dx\)就像是一个记号，加在后面就完事了。但现在我理解了\(dx\)是作为一个因子的，它有自己的意义，有自己的运算，现在再来看被积表达式，这一切不就是理所当然吗？

5.5.3 不定积分第二类换元法

第二类换元法和第一类换元法正好相反，第一类换元法是我已经有一长串表达式了，现在要将它凑成一个简单的形式；而第二类换元法是当前的表达式没法凑，只能将它代换成别的形式，具体来说就是将\(x\)代换成一个函数\(\psi(t)\)。我刚学换元法的时候就觉得第一类换元法是把复杂的问题简单化，第二类换元法是把简单的问题复杂化，不知道你们有没有这种想法。

其实原理很简单，将\(x=\psi(t)\)代入表达式，微分中的\(x\)也要跟着代换，求出积分后，再将\(t\)代回\(x\)。需要注意的就是代回这一步，既然\(x\)和\(t\)能相互代换，那么就要求\(\psi(t)\)是有反函数的，当然也必须可导。所以很多教材上说\(\psi(t)\)是单调可导的，且\(\psi'(t)\ne0\)（严格单调），这就是为了保证\(\psi(t)\)有反函数。但是不要因为\(\psi(t)\)的严格单调而限制了你的思维，其实这个\(\psi(t)\)有断点也是可以的啊，比如倒代换中经常使用的\(x=\frac{1}{t}\)，\(\frac{1}{t}\)不也是严格单调的吗？只不过是在分别的区间上严格单调，总之只要保证\(\psi(t)\)有反函数就可以了。

通常我们用\(x=\sin t\)、\(x=\tan t\)、\(x=\sec t\)，之所以用\(\sin t\)而不是用\(\cos t\)，就是因为\(\sin t\)在对称区间上是单调的，用起来方便一点，\(\tan t\)也是同理。但用\(\sec t\)的时候要小心，因为\(\sec t\)是偶函数，通常我们只用它的\((0,\frac{\pi}{2})\)区间。在代回的时候用画辅助三角形的方法是很不错的选择。

5.5.4 定积分第一类换元法

在不定积分第一类换元法的基础上，利用牛顿-莱布尼茨公式就能证明。设\(f(x)\)的原函数为\(F(x)\)，则\(f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)\)的原函数为\(F(\varphi(x))\)，由牛顿-莱布尼茨公式有： \[ \int_a^b f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)dx=F(\varphi(b))-F(\varphi(a)) \] 进而： \[ F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=F(u)\bigg|_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)du \] 整个过程证明严谨，在使用时也不需要顾忌\(\varphi(x)\)的形式（是否有反函数、是否要单调等等都无所谓），记得新的上下限和原来的对应就可以了。

5.5.5 定积分第二类换元法

\[ \int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\psi(t))\psi'(t)dt \]

第一类换元法可以没有顾忌，但是第二类换元法到底用不用考虑\(\psi(t)\)的单调性问题呢？答案是不需要，因为定积分可以直接求出结果，而不需要代回这一步。这么说可能还不太让人信服，比如下面这个积分 \[ \int_0^aa^2-x^2dx(a>0) \]

• 令\(x=a\sin t\)，取\(t\)的区间为\([0,\frac{\pi}{2}]\)，则

\[ \int_0^aa^2-x^2dx=a^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^3tdt=a^3\cdot(\sin x-\frac{\sin^3x}{3})\bigg|^\frac{\pi}{2}_0=\frac{2a^3}{3} \]

• 令\(x=a\sin t\)，但是取\(t\)的区间为\([\pi,\frac{5\pi}{2}]\)，则

\[ \int_0^aa^2-x^2dx=a^3\int_\pi^{\frac{5\pi}{2}}\cos^3tdt=a^3\cdot(\sin x-\frac{\sin^3x}{3})\bigg|^\frac{5\pi}{2}_\pi=\frac{2a^3}{3} \]

上述第一种换元是在单调区间中进行的，而第二种换元的区间则是非单调的，甚至取值还超出了区间\([0,a]\)，但结果是相同的。这是由于不论\(t\)是取\([0,\frac{\pi}{2}]\)还是\([\pi,\frac{5\pi}{2}]\)，都保证了\(\psi(t)\)的首尾取值是\(0\)和\(a\)，而在定积分中，只要上下界定了，不论是怎么从下界到上界的（可以从下界直接到上界，也可以先超出上界再折回来），结果都不会改变。所以\(\psi(t)\)可以取的很随意，只要保证上下界的值和原来对应，即\(\psi(\alpha)=a\)、\(\psi(\beta)=b\)。

5.5.6 常用换元

• 三角代换：出现根号下\(a^2\)和\(x^2\)的
  • \(\sqrt{a^2-x^2}\)，令\(x=a\sin t\)
  • \(\sqrt{x^2+a^2}\)，令\(x=a\tan t\)
  • \(\sqrt{x^2-a^2}\)，令\(x=a\sec t\)
• 根式代换：令\(t=\sqrt[n]{ax+b}\)或\(t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\)。
• 指数代换：令\(t=e^x\)。
• 倒代换：令\(t=\frac{1}{x}\)，用于分母次数高于分子2次及以上。
• 万能代换：令\(t=\tan\frac{x}{2}\)，则\(\sin x=\frac{2t}{1+t^2}\)，\(\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\)。二倍角公式推出的，\(\cos x\)可以记忆为分子小于分母，所以分子是减。

5.5.7 分部积分法

换元法用的都是复合函数求导的逆运算，而分部积分法则是利用了导数乘法的逆运算。分部积分法没有什么争议的，直接给出最简化的公式（写进微分看起来会更简洁）： \[ \begin{align} \int udv&=uv-\int vdu\\ \int_a^b udv&=uv|_a^b-\int_a^bvdu \end{align} \] 通常在涉及两个函数相乘或有对数/反三角函数时使用，将方便求导的部分\(u\)放在前面，这样代入公式后\(u\)和\(v\)交换，\(u\)就会变为被求导的那个。有个口诀叫【反对幂指三，谁靠后谁先凑】，比如\(\int x^2\sin xdx\)凑成\(\int-x^2d(\cos x)\)，用多了就有这个感觉了。

5.5.8 其他有用公式

• 求定积分注意奇偶性、周期性和实际意义（面积）的利用。

• 华理士公式 \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx= \begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} &n为偶数，n=0就是\frac{\pi}{2}\\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3}\cdot1 &n为奇数，n=1就是1 \end{cases} \] 很好记忆，\(n=0或1\)的时候易知，更高次数的话前面的系数就像点火的倒计时一样，5、4、3、2、1，所以又叫点火公式。

• 区间再现公式 \[ \int_a^bf(x)dx\ \overset{\text{t=a+b-x}}{=\!=\!=\!=\!=\!=}\int_a^bf(a+b-t)dt \] 自己代换一下可以发现确实是这个结果，但比起代数运算还是几何理解更生动。它的几何意义是，在一个区间把这个函数左右对折，下方的面积不变（建议好好想一下），这才是区间再现的由来。

5.5.9 有理函数的积分

直接给结论，假分式有理函数一定可以拆成多项式和真分式，多项式的积分易求，而真分式有理函数一定可以拆成以下四种形式，对应的解法也给出：

• \[ \frac{1}{x-a} \]

  指数为\(-1\)的幂函数，易求。

• \[ \frac{1}{(x-a)^n} \]

  指数为\(-n\)的幂函数，易求。

• \[ \frac{Mx+N}{x^2+px+q} \]

  将分母配方，令\(u=x+\frac{p}{2}\)，即可转化为\(\frac{Mu+b}{u^2+a^2}\)。再将分子拆成两部分，\(\frac{Mu}{u^2+a^2}\)可以通过凑微分求得，其积分为\(\frac{M}{2}\ln(u^2+a^2)\)；\(\frac{b}{u^2+a^2}\)的积分为\(\frac{b}{a}\arctan\frac{u}{a}\)。

• \[ \frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n} \]

  标准的解法很复杂，通过递推来降低分母的次数。一般也不会真的这么考，通常出现的是\(n=2\)的情况：此时可以通过三角代换，将分母括号里配成\(u^2+1\)，令\(u=\tan t\)，即可求解。

最后简单说一下为什么分母一定是上面四种形式：（代数中的定理，了解就行）\(n\)次多项式有\(n\)个根，如果这个根是实数，则多项式一定包含\((x-a)\)项；如果是复数，则一定是共轭复数，多项式包含\((x^2+px+q)\)项。现在应该就能理解为什么是这几种形式了，并且\((x^2+px+q)\)中必有\(p^2-4q<0\)（因为是复数根），所以分母一定可以配成\(u^2+a^2\)的形式。

5.6 广义积分

也叫反常积分。

5.6.1 无穷区间上的广义积分

无穷区间上的广义积分很好理解，就是从有界的积分上下限变为了无穷的上下限。唯一需要注意的就是它的定义，严格上来说就只有以下两种： \[ \begin{align} \int_a^{+\infty}f(x)dx&=\lim\limits_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx\\ \int_{-\infty}^bf(x)dx&=\lim\limits_{a\to-\infty}\int_a^bf(x)dx \end{align} \] 如果右边的极限存在，那么就说广义积分收敛。

至于正无穷到负无穷的情况，则要拆成两段来算，要保证每一段只有一边是趋于无穷的。只有当两段的极限都存在，才能说它是收敛的。

5.6.2 无界函数的广义积分

也叫瑕积分，即自变量趋近于积分限时函数值无界，函数值无界的那一点称为瑕点。定义和无穷区间上的广义积分类似，有瑕点在左端点、中间、右端点三种情况，就不再赘述了。如果范围内有多个瑕点，则同样要分段来算，保证每一段只有一个瑕点。

看下面这个例子就明白了：判断广义积分\(\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x}dx\)是否收敛要考虑四段，\(\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x}dx\)、\(\int_{-1}^0\frac{1}{x}dx\)、\(\int_0^1\frac{1}{x}dx\)、\(\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx\)，这样才能保证每一段只有一边是趋于无穷的，而只有这四段分别都收敛，整个广义积分才收敛。

5.6.3 奇偶函数对称区间的广义积分

只有一点需要注意，左右两边一定要分别收敛才有结论，否则讨论左右是否相等或是否为相反数是没有意义的。当左右都收敛时（由于对称性，一边收敛另一边也必定收敛），奇函数的广义积分为\(0\)，偶函数的广义积分为一边的两倍。记住\(\int_{-\infty}^{+\infty}xdx\ne0\)，左右不收敛就没有资格谈论其他的。

5.6.4 广义积分敛散判别

标准函数

首先记住几个标准的函数，其他的函数和它们比较可以轻松判断出敛散。

• \[ \int_a^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx\to \begin{cases} 收敛&p>1\\ 发散（积分是\ln x）&p=1\\ 发散&p<1 \end{cases} \]

• \[ \int_a^{+\infty}\frac{1}{x(\ln x)^p}dx\to \begin{cases} 收敛&p>1\\ 发散（积分是\ln(\ln x)）&p=1\\ 发散&p<1 \end{cases} \]

对于上述函数的瑕积分来说正好相反：

• \[ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx\to \begin{cases} 发散&p>1\\ 发散（积分是\ln x）&p=1\\ 收敛&p<1 \end{cases} \]

• \[ \int_0^1\frac{1}{x(\ln x)^p}dx\to \begin{cases} 发散&p>1\\ 发散（积分是\ln(\ln x)）&p=1\\ 收敛&p<1 \end{cases} \]

比较判别法

很直接，如果函数值大的函数收敛了，那么小的函数一定收敛；如果小的函数发散了，那么大的函数一定发散。记得充分利用上面的标准函数。

还可以比较它们的极限，即 \[ \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l \] 如果\(l\)是非0常数，则两个函数同敛散；如果\(l=+\infty\)，则下面的发散上面一定发散；如果\(l=0\)，则下面的收敛上面的一定收敛。为什么只比较趋于无穷时的值就可以了呢？因为前面有穷部分的函数值是不影响收敛的，只要后面无穷的部分收敛整个就收敛了。

绝对收敛

绝对收敛就是指一个函数取绝对值之后的广义积分收敛。将一个函数\(x\)轴下方的部分翻上来，它的积分肯定是大于原函数的，所以绝对收敛则原积分收敛。如果原积分收敛但不绝对收敛，则称为条件收敛。

狄利克雷（Dirichlet）判别法

\(f(x)\)的广义积分\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\)有界，\(g(x)\)单调且趋于0，则\(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx\)收敛。（有界的乘一个趋于0的当然收敛）

它主要是用来判别含三角函数的广义积分的，比如\(\int_a^{+\infty}\frac{\sin x}{x}dx\)，\(\sin x\)的广义积分是有界的，乘以一个趋于0的，它们乘积的广义积分就是收敛的。

阿贝尔（Abel）判别法

\(f(x)\)的广义积分收敛，\(g(x)\)单调有界，则\(\int_a^{+\infty}f(x)g(x)dx\)收敛。（收敛的乘有界的当然还是收敛）

上面两个判别法从直观来看都很好理解，证明就不必抬出来了。对于瑕积分也有类似判别法，意思都是一样的。