高等数学(四)一元函数积分1
五、一元积分
5.1 不定积分与定积分
简单来说,不定积分就是微分的逆运算,注意不是求导的逆运算,两者差了一个
而定积分的概念来源于求曲边梯形的面积,分割、近似、求和、取极限的过程各种教材都讲得很清楚,这里不必多说,总之定积分的定义是如下的式子。
这里稍微再提一下积分中值定理:设
用图像来理解就是在
如果是
当然我还是希望给出直观的解释为什么条件可以强化为开区间:如果函数为常值函数,显然成立;否则设
5.2 微积分基本定理
我一直觉得牛顿-莱布尼茨公式是微积分的灵魂,它将定积分与原函数联系到了一起,从而建立了不定积分与定积分的关系。而称之为微积分基本定理,其基本也说明了它的重要性。
设
假如速度函数为
现在我们知道了公式右边
当然上面说的都是物理上的解释,它可以帮助我们轻松理解函数和它原函数的关系。但我们还是得从数学上来说明这一点,事实上,这种理解方式更加精彩。现在我们抛开上面物理的意义,就把
5.3 定积分与原函数存在定理
首先必须清楚一点,函数可积和函数有原函数是两回事。函数可积是指定积分存在,即曲边梯形的面积是可以求出来的(不能是无穷)。而函数有原函数是指存在一个函数使得它的导数等于这个函数。
这两者概念是不同的,可积是与定积分有关的概念,要联想到定积分的定义,看一个函数是否可积就是看围成的曲边梯形的面积是否可求。而原函数是与不定积分有关的概念,求原函数就利用积分与微分的互逆去找函数就可以了。之所以会混淆这两种说法可能是因为受牛顿-莱布尼茨公式的影响了,认为定积分和不定积分两者几乎等同,但其实这是不对的,还是应该从定义出发。毕竟牛顿-莱布尼茨公式也只适用于闭区间上的连续函数。
举两个简单的例子来帮助理解一下可积与有原函数的不同:
可积但没有原函数
这个函数显然是可积的,围成的面积就是两个矩形,面积可求。但它的原函数在 这个点是不可导的,因为左导数为 ,右导数为 ,两者不相等,所以没有原函数。有原函数但不可积
可以验证该函数的原函数如下,但 在 时无界,所以不存在定积分。
5.3.1 可积的充要条件
这一部分普通高数教材不会讲,但十分有助于理解定积分,也为下节讲定积分存在定理作铺垫。
在定积分的分割中,每一个小区间的函数值都有上确界
记所有上确界的和(达布上和)为
如果上积分和下积分相等,那么由夹逼准则,定积分的值就是它们的极限。所以可积的充要条件为上积分等于下积分(达布定理)。用
或者将每一小段的
5.3.2 定积分存在定理
定积分存在定理叙述如下:
- 设
在 上连续,则 存在。 - 设
在 上有界,且只有有限个间断点,则 存在。
第一条,闭区间上函数连续则定积分存在,读一遍觉得好像应该是这样,但为什么定积分存在还是有点想不清楚。下面就利用刚刚的达布定理来说明,达布定理最核心的一点就是每一小段的振幅之和可以趋于无穷小(
因为闭区间上连续则一致连续,所以
, ,对于任意两点,只要 ,就有 而只要取 就能满足上式,所以有
第二条与第一条不同的是允许有限个点间断,但前提是有界。不妨设函数有一个间断点(哪种间断点都无所谓,只要有界),那么整个函数可以分为三段,如下图。
其中左右两段都是连续函数,可以使其振幅和分别小于
从这个例子也可以看出为什么要求是有界的,那如果无界会发生什么情况呢?比如函数
5.3.3 原函数存在定理
原函数存在定理叙述如下:
- 设
在 上连续,则在 上必存在原函数。 - 设
在 上有第一类间断点或无穷间断点,则在 上必无原函数。 - 设
在 上有振荡间断点,在 上是否有原函数与函数形式有关。
对于第一条,变上限积分函数就是它的原函数。对于第二条,其原函数不存在的根本原因是在间断点导数不存在或左右导数不相等(可去间断点上导数不存在,跳跃间断点上左右导数不相等,无穷间断点上导数不存在),所以其原函数在间断点不可能有导数,正是这一点导致原函数不存在。对于第三条,其是否存在原函数的原因还是和第二条一样,关键是看间断点的导数,比如
定积分存在定理和原函数存在定理确实有些容易混淆,相同的是【连续既可积又有原函数】,不同的是【是否可积得看面积能否表示(振幅和能否无穷小),是否有原函数得看原函数在间断点的导数】。
5.4 变限积分函数
在之前讲牛顿-莱布尼茨公式的时候就提到了变上限积分函数
变限积分本质上还是定积分,而定积分就要往曲边梯形的面积上想,而所谓变限,无非就是这个定积分的上限或下限是一个变量。就拿变上限积分函数来说,定积分的积分上限是一个变量,这个积分表示的就是从积分下限到这个变量之间曲边梯形的面积,用定积分的定义来写就是
然后来看一些变限积分的性质,参考书上几乎都有,但我还是想好好讲讲其中的道理。
一般的书都会说因为
是积分变量,所以 可以看作常数,那为什么非积分变量的项就可以看作常数呢?这就需要对 和 这两个变量有深刻的理解, 是变限积分函数的自变量,而 只是一个积分变量,在这个定积分中, 的值会从 取到 ,也就是说, 的值是一个范围,不管 是多少, 都是变化的。那当这个函数的 取定, 也就定下来了,剩下的就是求一个定积分,这时 当然作为一个常数可以提出来。或者从上面的定积分定义来理解, 是可以提到极限外面的,因为这个极限是对 的, 和 在其中就是常数。这种情况就是
跑到 的自变量里了,这时这个变限积分函数的意义就很不明确了,并不是表示曲边梯形的面积,你可以去想它是什么意思,但是我实在想不出来,太抽象了。所以我们把它转化为能理解的方式,将自变量直接用一个新的变量 来表示,微分和上下限也随之改变,这样它就又是表示曲边梯形的面积了。
之前我还有一点也想了很久,为什么
当然参考书肯定会讲变限积分函数的求导,我就直接给出最全的这条(如果不是这种标准的形式需要用上面的代换使得被积表达式是
下面还有一点啰嗦的话,与上一小节有关,姑且说一下,想清楚这个也有助于巩固上一小节。设
连续,则 连续可导; 有可去间断点,则 连续可导; 有跳跃间断点,则 连续不可导; 有无穷间断点,则 不存在; 有振荡间断点,则 是否存在不确定。
变限积分函数本质上还是定积分,所以好好回想一下可积的相关概念。之所以第一类间断点不影响
这里我更想问的是在可去间断点这一点的变限积分的导数值是多少,是等于