高等数学（三）导数与微分2

四、微分中值定理与导数应用

4.1 微分中值定理

4.1.1 费马定理

费马定理：设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某领域\(U(x_0)\)内有定义，并且在\(x_0\)处可导，\(f(x_0)\)是\(f(x)\)的一个极值，则\(f'(x_0)=0\)。

定理的内容简直像废话一般。但是证明利用了极限的保号性，如果\(x_0\)是最大值的话，\(x_0\)点的左导数用定义写出来\(f'_-(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x0}\)，分子分母都大于零，由保号性，极限大于等于零，同理右导数小于等于零，所以导数只能为零。

4.1.2 罗尔定理

罗尔定理：设\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使\(f'(\xi)=0\)。

直观理解就是函数值相同的两个点，之间不论怎么画曲线，总有导数为零的点。证明的话用了闭区间连续函数的最值定理，两个点之间总有最大值\(M\)和最小值\(m\)，如果\(M=m\)，那就是直线了，否则\(M\)或\(m\)总有一个是极值点，满足费马定理。

4.1.3 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理：设\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)内可导，则至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)。

其实直观理解是最容易的了，把右边的\(b-a\)移到左边，左边就是首尾连线的斜率\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，区间内总有一点的斜率等于首尾连线的斜率，看图一下就懂了。具体证明的话就构造函数\(F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\)，利用罗尔定理证明。

4.1.4 柯西中值定理

柯西中值定理：设\(f(x)\)、\(g(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)内可导，且对任一\(x\in(a,b)\)，\(g'(x)\ne 0\)，则至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)。

常规证明的话还是构造函数，利用罗尔定理来证明。下面给出一种从图像来理解和证明的方法：

首先如果\(f(x)\)和\(g(x)\)的两个端点函数值相等（或函数值之差相等），那么区间内必有一点导数相等。这可以构造函数\(F(x)=f(x)-g(x)\)来证明。把这个结论暂且叫做引论。

那如何把互不相干的两个函数化成上述端点值相等的情况呢？可以想到，将\(g(x)\)除以自己两端点函数值之差，再乘以\(f(x)\)两端点函数值之差，再上下移动，那么变化后的函数\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x)+C\)，就和\(f(x)\)的两端点是重合的，满足上面的引论。（加不加\(C\)其实并不重要，只是两端点重合看图比较直观）

如下图橙色的函数\(g(x)\)通过乘以\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)和上下平移变为灰色的函数，两端点重合，那么由引论就存在一点\(\xi\)，使得\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(\xi)=f'(\xi)\)，柯西中值定理得证。

从图像来看似乎不满足【对任一\(x\in(a,b)\)，\(g'(x)\ne 0\)】这一条件，事实上，有的教材的条件是【\(f'(x)\)和\(g'(x)\)不同时为零，\(g(a)\ne g(b)\)】。显然后者才更精确，而前者涵盖了后者的条件。

4.2 泰勒公式

说白了泰勒公式就是对任意函数在某一点附近的多项式拟合。比如\(f(x)=e^x\)，要在\(x=0\)这一点充分拟合：

首先函数值得相等，得到\(p(x)=1\)，现在\(p(x)\)是一条水平直线，和\(f(x)\)差别还很大。
然后要让拟合的函数在这一点的增长趋势和\(f(x)\)一样，也就是让这一点的导数相等，得到\(p(x)=1+x\)，现在函数仍是一条直线，只是趋势对了，但形状还有很大差别。
接着再让\(p(x)\)和\(f(x)\)的二阶导数相等，那么在这一点的弯曲程度就一样了，得到\(p(x)=1+x+\frac{x^2}{2}\)。
这样不断拟合每一阶导数，\(p(x)\)就和\(f(x)\)的形状越来越近。

最后所得到的\(p(x)\)就是\(f(x)\)在\(x=0\)点的近似多项式表达，如果用画图工具去画这两个函数，它们在\(x=0\)附近几乎是完全重合的。而以上过程就是泰勒公式的由来，泰勒公式虽然看起来复杂，但其本质就是多项式函数\(p(x)\)的每一阶导数都和\(f(x)\)相同，从而实现精确的拟合。

4.2.1 带佩亚诺余项的泰勒公式

带Peano余项的泰勒公式：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处具有\(n\)阶导数，那么存在\(x_0\)的一个邻域，对邻域内任意一点\(x\)有 \[ \begin{align} f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\\ &\ \ \ \ \ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) \end{align} \] 记前面的多项式部分为\(p_n(x)\)，余项\(R_n(x)=o((x-x_0)^n)\)，称为Peano余项。

多项式部分为什么是这样的前面已经解释清楚了，现在的问题是余项为什么是\((x-x_0)^n\)的高阶无穷小。其实也不难理解，因为前\(n\)阶的无穷小已经被多项式部分表示了，如果还存在\(n\)阶的无穷小，那么它也应当被写进多项式，因此不存在\(n\)阶的无穷小，所以剩下的都是比\(n\)阶还高阶的无穷小了。

关于Peano余项的证明我还是想提一下，这里面涉及了很多细节。要证明\(R_n(x)\)是\((x-x_0)^n\)的高阶无穷小，即证 \[ \lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0 \] 教材上的证明如下： \[ \begin{align} \lim\limits_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}&=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-p_n(x)}{(x-x_0)^n}\\ &\overset{\text{n-1次洛必达}}{=\!=\!=\!=\!=}\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-[f^{(n-1)}(x_0)+f^{(n)}(x_0)(x-x_0)]}{n!(x-x_0)}\\ &=\frac{1}{n!}\lim\limits_{x\to x_0}[\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)]\\ &\overset{\text{导数定义}}{=\!=\!=\!=}0 \end{align} \] 令我非常疑惑的是为什么不直接用\(n\)次洛必达，却要用\(n-1\)次，最后再用一次导数的定义。后来我终于想明白了，定理的条件是【\(f(x)\)在\(x_0\)处具有\(n\)阶导数】，并没有说在\(x_0\)的邻域内是\(n\)阶可导的，只能由这个条件推出在\(x_0\)的邻域内是\(n-1\)阶可导的，因为由\(x_0\)点的\(n\)阶导数定义 \[ f^{(n)}(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} \] 函数在邻域的\(n-1\)阶导数是存在的。所以\(n-1\)次洛必达后就不能再洛必达了，因为分子的第一项\(f^{(n-1)}(x)\)的导数不知道是否存在，所以只能用导数的定义来求。

4.2.2 带拉格朗日余项的泰勒公式

带Peano余项的泰勒公式只给出了余项是\((x-x_0)^n\)的高阶无穷小，但它不能估算具体误差的大小，下面的拉格朗日余项就是解决这个问题的。

带拉格朗日余项的泰勒公式：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某个邻域\(U(x_0)\)内具有\(n+1\)阶导数，那么对任一\(x\in U(x_0)\)，有 \[ \begin{align} f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\\ &\ \ \ \ \ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{align} \] 其中\(\xi\)是\(x_0\)与\(x\)之间的某个值。

还是记前面的多项式部分为\(p_n(x)\)，余项为\(R_n(x)\)。先解释一下定理中的细节，定理中表述【\(\xi\)是\(x_0\)与\(x\)之间的某个值】，这是因为\(x_0\)和\(x\)的大小未知，所以没有用\(\xi\in(x_0,x)\)。定理要求邻域\(U(x_0)\)内具有\(n+1\)阶导数，这是因为余项中有\(f^{(n+1)}(\xi)\)项，而\(\xi\)的取值属于一个范围，所以这个范围中都得\(n+1\)阶可导。

下面以一种类似数学归纳的方法来简要说明定理的证明。

当\(n=0\)时，定理退化为\(f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\)，即拉格朗日中值定理。令 \[ \begin{align} F(x)&=f(x)-f(x_0)\\ G(x)&=x-x_0 \end{align} \] 易知\(F(x_0)=0\)、\(G(x_0)=0\)，由柯西中值定理有 \[ \frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}=\frac{\xi}{1}=f'(\xi) \] 结合等式第二项和最后一项得证。
当\(n=1\)时，定理退化为\(f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2\)。令 \[ \begin{align} F(x)&=f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\\ G(x)&=(x-x_0)^2 \end{align} \]

易知\(F(x_0)=F'(x_0)=0\)，\(G(x_0)=G'(x_0)=0\)，连续使用两次柯西中值定理有 \[ \frac{F(x)-F(x_0)}{G(x)-G(x_0)}=\frac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)^2}=\frac{F'(\xi_1)}{G'(\xi_1)}=\\ \frac{F'(\xi_1)-F'(x0)}{G'(\xi_1)-G'(x_0)}=\frac{f'(\xi_1)-f'(x_0)}{2(\xi_1-x_0)}=\frac{F''(\xi)}{G''(\xi)}=\frac{f''(\xi)}{2} \] 结合等式第二项和最后一项得证。
……
当\(n=n\)时，即原定理。令 \[ \begin{align} F(x)&=f(x)-p_n(x)\\ G(x)&=(x-x_0)^n \end{align} \] 也有上述类似的性质，使用\(n+1\)次柯西中值定理即可得证。

以上归纳可以理解为：带拉格朗日余项的泰勒公式就是拉格朗日中值定理的推广。余项中\(f^{(n+1)}(\xi)\)的范围是可以求得的，从而可以估算出误差。

4.2.3 常用麦克劳林公式

\[ \begin{align} e^x&=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ \sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n})\\ \cos x&=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\ \tan x&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+o(x^6)\\ \ln(1+x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\\ (1+x)^\lambda&=1+\lambda x+\frac{\lambda(\lambda-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\lambda(\lambda-1)\cdots(\lambda-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\\ \frac{1}{1+x}&=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)\\ \frac{1}{1-x}&=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)\\ \arcsin x&=x+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}x^3+\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{1}{5}x^5+\cdots+\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}+o(x^{2n+2})\\ \arctan x&=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}+o(x^{2n})\\ \end{align} \]

下面帮助大家从推理的角度来记忆以上的公式：

公式	理解
\(e^x\)	所有阶导数都为\(1\)，每一项只有阶乘和\(x\)，非常容易记忆
\(\sin x\)和\(\cos x\)	首先记第一项，\(\sin x\)第一项是\(x\)，因为它们同阶，\(\cos x\)第一项是\(1\)，因为\(\cos(0)=1\)。然后三角函数在零处的\(n\)阶导是\(1、0、-1、0\)循环的，所以每一项符号要改变且指数有间隔。还有一个细节就是后面余项的次数，要比最后一项多一阶。
\(\tan x\)	\(\tan x\)没有公式，不想现推的话，可以背前三项方便做题。形式和三角函数差不多，指数都有间隔，第二项都含\(3\)，因为\(\tan x\)最大，所以第二项是\(+\frac{1}{3}\)，可以参考本节最后有关三角函数和反三角函数的总结来记忆。
\(\ln(1+x)\)	第一项为\(x\)，因为它们同阶。从一阶导开始，之后的导数都为\(1+x\)的负数次方，所以求\(n\)阶导时正负交替且含有阶乘，这里的阶乘与公式本来的阶乘相抵，只留下一个系数。
\((1+x)^\lambda\)	第一项为\(1\)，第二项为\(\lambda x\)，这和\((1+x)^\lambda-1\sim\lambda x\)是对应的。其余正常代公式就可以了。
\(\frac{1}{1+x}\)	即上一个公式\(\lambda\)代入\(-1\)，但是这样有些不容易想。该表达式是\(\ln(1+x)\)的导数，所以对\(\ln(1+x)\)的展开式求导就可以了，指数和系数恰好约掉，只有正负交替。
\(\frac{1}{1-x}\)	形式非常特殊，各次方相加。即上一个公式将\(x\)替换为\(-x\)。或者利用\(\ln(1+x)\)的展开式将\(x\)替换为\(-x\)，但注意\(\ln(1-x)\)的导数是\(-\frac{1}{1-x}\)，前面的负号要和展开式的负号消去。
\(\arcsin x\)	还是从\((1+x)^\lambda\)导出的，\(\lambda\)取\(-\frac{1}{2}\)，用\(-x^2\)代替\(x\)，再取积分可得。记忆时只需要记住小于指数的双阶乘和它是积分得来的这两点即可，前者说明双阶乘的分子和分母相乘的最后一项都是小于\(x\)的指数的，后者指\(x\)前面的系数和指数相乘可以消去，这正是幂函数积分的特性。另外易知第一项是\(x\)。（其实还不如背前三项hhh）
\(\arctan x\)	推导的话，将\(\frac{1}{1+x}\)中的\(x\)替换为\(x^2\)，恰好是\(\arctan x\)的导数，展开式为\(1-x^2+x^4-\cdots\)，再取积分即得。记忆的话，因为\(\arctan x<\sin x\)，所以展开式和\(\sin x\)的相比就没有了阶乘。

\(\ln(1+x)\)、\(\frac{1}{1+x}\)和\(\frac{1}{1-x}\)的公式只需要记第一个就可以了，后面两个可以通过代换很方便的得出。

三角函数和反三角函数的展开式有些复杂，但其也有规律，比如展开式指数都有间隔。另外知道其大小关系可以帮助我们记忆第二项。如下是五个函数的图像，也很好理解，\(\tan x\)最陡，其反函数就最缓。

再看第二项，大于\(x\)的为正，小于的为负。所以有 \[ \begin{align} &函数:\arctan x<\sin x<\arcsin x<\tan x\\ &第二项系数:-\frac{1}{3}<-\frac{1}{6}<\frac{1}{6}<\frac{1}{3} \end{align} \]

4.3 导数的应用

4.3.1 单调性

这个没什么好说的，高中题都做烂了，这里只说一下严格单调递增（减）。一般可能会想导数都大（小）于零就是严格递增（减），但其实这么说过于苛刻了，比如\(f(x)=x^3\)，也是严格递增的。所以严格单调递增（减）的充要条件是：\(f'(x)\ge0\)，且区间只有有限个点的导数为\(0\)。结合\(x^3\)的例子也很好明白。

4.3.2 极值

定义：设\(f(x)\)在点\(x_0\)的邻域内有定义，如果对该邻域内任何\(x\)，恒有\(f(x)\le f(x_0)\)（或\(f(x)\ge f(x_0)\)），则称\(x_0\)为\(f(x)\)的一个极大值点（极小值点）。

定义只要求函数有定义，而并没有要求在邻域内连续或可导，这要与极值的充分和必要条件区分开。另外邻域就表明该点必须比左右两边的值都大（小），所以端点不能算极值点。

必要条件：设\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，如果\(x_0\)为极值点，则\(f'(x_0)=0\)。

这就是4.1.1中的费马定理。

第一充分条件：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)的某去心邻域可导，在\(x_0\)处连续，那么左右导数异号时，有极值点。

整理一下定理的条件，就是说在\(x_0\)的某邻域内连续，在去心邻域内可导，也就是在\(x_0\)点可以不可导。这其实很好理解，比如绝对值函数就是这样。第一充分条件是利用了去心邻域的导数来判断极值。

第二充分条件：设函数\(f(x)\)在\(x_0\)处二阶可导且\(f'(x_0)=0\)，\(f''(x_0)\ne0\)，则二阶导数大于零极小，二阶导数小于零极大。

二阶可导说明在邻域内一阶导数有定义，进一步说明函数在邻域内连续，所以可以看出第二充分条件是建立在第一充分条件之上的，多了在\(x_0\)处可导这一条件。而利用\(f''(x_0)\ne0\)这个条件就能推出左右导数异号，从而满足第一充分条件，有极值。

第三充分条件：设\(f(x)\)在\(x_0\)处有\(k\)阶导数，且\(f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(k-1)}(x_0)=0\)，\(f^{(k)}(x_0)\ne0\)。当\(k\)为偶数时，若\(f^{(k)}(x_0)>0\)，\(x_0\)为极小值点，若\(f^{(k)}(x_0)<0\)，\(x_0\)为极大值点。

这个定理其实就补全了第二充分条件，使得多阶导数为零时也能判断极值点。这个定理也不用记，举个例子就明白了：\(f(x)=x^4\)，在\(x=0\)处，前三阶导都为零，四阶导为正，所以有极小值点。

证明的话也很简单，可以用带Peano余项的泰勒公式，展开到第\(k\)项，前面的项由于导数为零都消去了，只剩下\(\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k\)和一个高阶无穷小的余项，所以函数在这一点就相当于一个幂函数\(f(x)=x^k\)，当\(k\)为偶数时，自然就有了上述性质。

4.3.3 最值

最值大家都很熟悉，定义为闭区间上的最大值或最小值，同样只需要函数有定义就行。这里给出两个很容易理解的结论，不作讲解：

连续函数在闭区间的唯一极值是最值。
连续函数在开区间的最值是极值。

4.3.4 凹凸性

看了上面两幅图就应该明白了，如果区间内任意两点的平均值大于中点的函数值，就是凹函数（左图），反之就是凸函数。

用二阶导数来描述就是：函数\(f(x)\)在\([a,b]\)内连续，在\((a,b)\)内二阶可导，那么\(f''(x)>0\)就是凹函数，\(f''(x)<0\)就是凸函数。为什么可以用二阶导数来描述呢？因为二阶导数是描述一阶导数的变化率的，而一阶导数就是斜率，所以斜率不断增大就是凹，反之就是凸。

曲线凹凸的分界点称为拐点，要注意拐点是一个点，有横纵坐标，而极值点只是横坐标。关于拐点有以下定理，与极值点同理，只不过导数多了一阶。

必要条件：\(f(x)\)在\(x_0\)处二阶可导，\((x_0,f(x_0))\)是拐点，则\(f''(x_0)=0\)。

第一充分条件：\(f(x)\)在\(x_0\)的某去心邻域二阶可导，在\(x_0\)点连续，左右二阶导异号时该点为拐点。

第二充分条件：\(f(x)\)在\(x_0\)处三阶可导，且\(f''(x_0)=0\)，若\(f'''(x_0)\ne0\)，则该点为拐点。

第三充分条件：设\(f(x)\)在\(x_0\)处有\(k\)阶导数，且\(f''(x_0)=f'''(x_0)=\cdots=f^{(k-1)}(x_0)=0\)，\(f^{(k)}(x_0)\ne0\)。当\(k\)为奇数时（\(k\ge3\)），该点为拐点。想象\(f(x)=x^3\)就可以理解了。

4.3.5 曲率

首先介绍弧微分，就是曲线长度的微分。如上图，当距离很小时，弧长\(ds\)、\(dx\)、\(dy\)构成一个直角三角形，有 \[ ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2} \] 或提出\(dx\) \[ ds=\sqrt{1+y'^2}dx \] 所谓曲率，就是曲线弯曲的程度。就比如开车急转弯和慢慢转弯，轮胎的轨迹弯曲的程度是不同的，在同样的行驶距离中，转过的角度越大，曲率越大，转同样角度的弯，转得越快（距离越短），曲率越大，所以曲率由转过的角度和转弯的距离同时衡量。曲率就定义为角度增量和弧长增量的比值的极限。 \[ K=\lim\limits_{\Delta s\to0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|=\frac{d\alpha}{ds} \]

在直角坐标系中，斜率\(\tan\alpha=y'\)，所以\(\alpha=\arctan(y')\)，所以 \[ d\alpha=\frac{y''}{1+y'^2}dx \] \[ K=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|=\left|\frac{\frac{y''}{1+y'^2}dx}{\sqrt{1+y'^2}dx}\right|=\frac{\left|y''\right|}{(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}} \]

对于直线来说，斜率始终不变，\(d\alpha=0\)，曲率为零，这符合我们的直观。对于圆来说，\(ds=R\cdot d\alpha\)，所以圆的曲率就是\(K=\frac{d\alpha}{ds}=\frac{1}{R}\)，半径越大，曲率越小，也符合直观。

由圆的曲率公式，定义曲率半径 \[ \rho=\frac{1}{K} \] 表示在曲线上的一点可以作一个曲率圆，这一点的弯曲程度和曲率圆的弯曲程度是一样的，细节就不说了，看图就懂了。