高等数学（一）函数与极限
一、函数
1.1 基本初等函数
基本初等函数包括以下五种函数，此处给出部分函数的图像，希望读者对平常用得少的函数图像留个印象，这对数学直观很有帮助。
幂函数：\(y=x^\mu\)
指数函数：\(y=a^x\)
对数函数：\(y=\log_ax\)
三角函数
\(y=\sin x\)
\(y=\cos x\)
\(y=\tan x\)
\(y=\cot x\)
\(y=\sec x\)
\(y=\csc x\)
反三角函数（注意定义域和值域）
\(y=\arcsin x\)
\(y=\arccos x\)
\(y=\arctan x\)
\(y=\text{arccot}\ x\)
\(y=\text{arcsec}\ x\)
\(y=\text{arccsc}\ x\)
需要注意的一点是基本初等函数是不带系数的，如\(y=2\sin x\)不能称作基本初等函数，而应该称作初等函数。初等函数是指基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的函数。初等函数很重要的一个性质就是其在定义区间内是连续的。
1.2 反函数
我以前一直对反函数的定义理解模糊，但实际上，反函数在高等数学中只有如下定义：
设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)，值域为\(R_y\)，若对任意\(y\in R_y\)，有唯一确定的\(x\in D\)，使得\(y=f(x)\)，则记为\(x=f^{-1}(y)\)，称为函数\(y=f(x)\)的反函数。
所以实际上\(y=f(x)\)的反函数是\(x=f^{-1}(y)\)，本质上两者是同一个式子，只不过一个是用\(x\)表示\(y\)，一个是用\(y\)表示\(x\)，清楚这一点非常重要，在推导反函数求导公式时会用到。如果都以x轴为横轴，y轴为纵轴，那么他们画在坐标轴上是完全重合的。但我们一般把自变量当作横轴，所以如果在画\(x=f^{-1}(y)\)时，以y轴为横轴，x轴为纵轴，则这两个函数的图像是关于\(y=x\)对称的。
按照这种定义，三角函数和反三角函数实际上不是严格意义上的反函数，很多人都被反三角函数的叫法带偏了，比如\(y=\sin(x)\)的反函数应该是\(x=\arcsin(y)\)，而不是\(y=\arcsin(x)\)。
既然反函数和原函数在本质上是同一个表达式，那为什么反函数的导数和原函数互为倒数呢？其实前面也提到了，原函数是\(y=f(x)\)，导数的定义是因变量和自变量增长率之比，即\(\frac{dy}{dx}\)；而对于反函数\(x=f^{-1}(y)\)来说，自变量已经变成了\(y\)，所以导数理应定义为\(\frac{dx}{dy}\)，两者当然互为倒数。
举个例子来加深理解：\(y=\ln x\)和\(x=e^y\)是一对反函数，其中的\(x=e^y\)应当以y轴为横轴作图，对应点的切线在图中画出，图像如下：
\(y=\ln x\)的导数为\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\)，\(x=e^y\)的导数为\(\frac{dx}{dy}=e^y=x\)（此处根据函数的定义将\(y\)代换为\(x\)），他们互为倒数。从图上也可以看出，两条切线是关于\(y=x\)对称的。
1.3 闭区间上连续函数的性质
看看就行了，都很好理解，列在这里是因为后面很多定理的证明都会用到这些。另外虽然标题也写了，但我还是唠叨一下这些定理的前提都是闭区间上的连续函数。
最值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值。
零点定理：设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且\(f(a)\)与\(f(b)\)异号，则在开区间\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使\(f(\xi)=0\)。
介值定理：设函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，且在这区间的端点取不同的函数值\(f(a)=A\)及\(f(b)=B\)，则对于\(A\)与\(B\)之间的任意一个数\(C\)，在开区间\((a,b)\)内至少有一点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=C\)。
1.4 连续与一致连续
函数的连续性用一句话概括就是：当\(\Delta x\)趋于零时\(\Delta f(x)\)也趋于零。官方一点就是不论\(\varepsilon\)多么小，总存在\(\delta\)，使得\(|x-x0|<\delta\)时，\(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)。这里\(\delta\)理解为自变量的区间宽度，\(\varepsilon\)理解为函数值的区间宽度。可以看到，\(\delta\)不仅与\(\varepsilon\)有关，还与\(x_0\)有关，同一个\(\varepsilon\)在\(x_1\)点存在\(\delta\)，但在\(x_2\)点\(\delta\)就不适用了。
比如对于函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)，当\(\varepsilon=0.1\)时，存在\(|1-1.09|<0.1=\delta\)，使得\(|f(1)-f(1.09)|<0.1\)，但当\(x\)取\(0.5\)时，\(|f(0.5)-f(0.59)|>0.1\)。可想而知，因为\(f(x)=\frac{1}{x}\)的曲线在\((0,+\infty)\)时越往左越陡，所以要想在很陡的时候还能满足\(\Delta f(x)\)很小，只能不断使\(\delta\)的值更小，而到底\(\delta\)要取得多小才能满足所有的\(x\)，显然这样的\(\delta\)是不存在的，因为当\(x\to 0\)时，函数是无限陡的。
那如果有一种函数使得\(\delta\)只与\(\varepsilon\)有关，不论\(x\)取值为多少，只要\(\Delta x<\delta\)，就有\(\Delta f(x)<\varepsilon\)，那么就说函数是一致连续的。比如\(f(x)=\sin x\)，一直都是较为平缓的曲线，没有趋于无穷的情况，它就是一致连续的。下面是一致连续性的定义：
设函数\(f(x)\)在区间\(I\)上有定义，如果对于任意给定的正数\(\varepsilon\)，总存在正数\(\delta\)，使得对于区间\(I\)上的任意两点\(x_1\)、\(x_2\)，当\(|x_1-x_2|<\delta\)时，有\(|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon\)，那么称函数\(f(x)\)在区间\(I\)上一致连续。
从前面的解释和定义都可以看出，一致连续性就是不论在区间\(I\)的哪个部分，只要自变量趋近到一定程度，函数值就能趋近到所指定的程度。
还有一致连续性定理：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，那么它在该区间上一致连续。证明略过，但能感觉出来它是对的，因为正如之前\(f(x)=\frac{1}{x}\)的例子，在开区间的情况下，函数值可能趋于无穷，所以不能保证一致连续。
1.5 一些特殊的函数
下面的一些函数性质很特别，常用于举反例，对做选择题很有帮助。 \[
f(x)=x\sin\frac{1}{x}
\] 
趋于零时，虽然有\(x\)这个无穷小量，但从图像可以看出越往零越陡，\(f'(x)\)无界。这是一个趋于零时函数有界但导数无界的例子。
\[ f(x)=\frac{1}{x}\sin(x^3) \]
这是一个趋于无穷时函数有界但导数无界的例子，\(f'(x)=3x\cos(x^3)-\frac{1}{x^2}\sin(x^3)\)。因为括号中\(x\)的次方很高，所以求导后会有\(x\cos(x^3)\)项，使得趋于无穷时，导数无界；如果括号里是一次方、二次方则不具有这个性质，可以自己求导看看，结果是一次方导数趋于零，二次方导数有界。
\[ f(x)= \begin{cases} x^2\sin\frac{1}{x}&x\ne0\\ 0&x=0 \end{cases} \]
由导数定义可知在\(x=0\)处导数为\(0\)，在非零处\(f'(x)=2xsin\frac{1}{x}-cos\frac{1}{x^2}\)。该函数在\(R\)上处处可导，但导函数在\(x=0\)处不连续。
二、极限
说明：对于数列来说，\(n\to\infty\)指的是\(n\to+\infty\)；对于函数来说\(x\to\infty\)指的是\(x\to\pm\infty\)。
2.1 极限的性质
就不写具体的官方定理了，理解就行。
有界性：收敛必有界。因为前面有穷项有界，后面无穷项又在一个范围内。
保号性：如果极限大于零，则当\(n\)取足够大时，数列也大于零。反之数列大于零，极限是可以取到零的，比如\(\frac{1}{x}\)。
海涅定理：数列极限可以与函数的极限相互转化：\(\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\)。
2.2 等价无穷小替换
当\(x\to 0\)时，有下列常用的等价无穷小替换，一定要注意是x趋于0的时候。 \[ \begin{align} \sin\ x&\sim x\\ \tan\ x&\sim x\\ \arcsin\ x&\sim x\\ \arctan\ x&\sim x\\ 1-\cos\ x&\sim \frac{1}{2}x^2\\ \ln(1+x)&\sim x\\ e^x-1&\sim x\\ (1+x)^\alpha-1&\sim \alpha x \end{align} \] 还有更多的等价无穷小替换是根据泰勒展开推出的，具体参见4.2.3 常用麦克劳林公式。
2.3 两个重要极限
\[ \lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin\ x}{x}=1 \]
还记得高中讲这个极限的时候老师是用洛必达来证明的，当然验证它的正确性可以用洛必达，但证明是不能的。因为用洛必达就势必要对\(\sin x\)求导，而如果你仔细看过\(\sin\ x\)求导公式的推导就知道其中用到了这个极限的结论，这样就变成循环证明了。
证明其实也很简单，用夹逼准则。当\(x>0\)时，有 \[ \sin\ x<x<\tan\ x \] 同时除以\(\sin\ x\)再取倒数 \[ \cos\ x<\frac{\sin\ x}{x}<1 \] 写到这里就很容易看出结论了，当然\(x<0\)的话同理。
\[ \lim\limits_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e \]
这个极限我觉得可以说是高等数学大门的钥匙，理解它可以回答你的很多问题，不过在此之前先认真看一看下面的证明，一步一步看，其实并不复杂。先从简单的数列形式开始：
Ⅰ. x为正整数n \[ a_n=(1+\frac{1}{n})^n \] 第\(n\)项二项式展开为 \[ \begin{align} a_n&=C_n^0+C_n^1\cdot\frac{1}{n}+C_n^2\cdot\frac{1}{n^2}+C_n^3\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots+C_n^n\cdot\frac{1}{n^n}\\ &=1+\frac{n}{1!}\cdot\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot\frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\cdot\frac{1}{n^3}+\cdots+\\ &\ \ \ \ \ \frac{n(n-1)\cdots1}{n!}\cdot\frac{1}{n^n}\\ &=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdots+\\ &\ \ \ \ \ \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n}) \end{align} \] 同理，第\(n+1\)项二项式展开为 \[ \begin{align} a_{n+1}&=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n+1})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})+\cdots+\\ &\ \ \ \ \ \frac{1}{(n+1)!}(1-\frac{1}{n+1})(1-\frac{2}{n+1})\cdots(1-\frac{n}{n+1}) \end{align} \] 除了前两项\(1\)，后面的每一项\(a_{n+1}\)都大于\(a_n\)，且\(a_{n+1}\)还多了一项，因此\(a_{n+1}>a_n\)，所以数列单调递增。
再将\(a_n\)的表达式放缩 \[ \begin{align} a_n&=1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+\frac{1}{3!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})+\cdots+\\ &\ \ \ \ \ \frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots(1-\frac{n-1}{n})\\ &\le1+(1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!})\\ &\le1+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n})\\ &\le3 \end{align} \] 数列\(a_n\)有上界，由单调有界定理得数列有极限，记为\(e\)。
Ⅱ. 从正整数跨越到正实数
当\(x\)为实数时，设\(n\le x\le n+1\)，有 \[ (1+\frac{1}{n+1})^n<(1+\frac{1}{x})^x<(1+\frac{1}{n})^{n+1} \] 左右极限都为\(e\)，由夹逼准则可得极限也为\(e\)。
Ⅲ. 从正实数跨域到所有实数
上面是\(x\to+\infty\)的情况，\(x\to -\infty\)的情况证明也十分简单：令\(x=-(t+1)\)，则\(x\to -\infty\)时，\(t\to +\infty\)，有 \[ \begin{align} \lim\limits_{x\to -\infty}(1+\frac{1}{x})^x&=\lim\limits_{t\to +\infty}(1-\frac{1}{t+1})^{-(t+1)}\\ &=\lim\limits_{t\to +\infty}(1+\frac{1}{t})^{t+1}\\ &=e \end{align} \] 所以就可以放心地使用上述结论，不论\(x\)是趋于\(+\infty\)还是\(-\infty\)，极限都是\(e\)。这一点我刚学习时就忽略了趋于负无穷时极限也是\(e\)，导致做题时不够灵活。
2.4 洛必达法则
洛必达法则可以用于多种未定式的极限求解，简洁而完整地叙述就是：当\(x\to x_0\)或\(x\to\infty\)时，如果\(\frac{f(x)}{g(x)}\)是\(\frac{0}{0}\)型或\(\frac{\infty}{\infty}\)型，且\(\frac{f'(x)}{g'(x)}\)的极限\(A\)存在（\(A\)为一个实数或无穷），则\(\frac{f(x)}{g(x)}\)的极限也为\(A\)。老师应该都强调过这里\(\frac{f'(x)}{g'(x)}\)的极限一定要存在，比如\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x+\sin x}{x}\)就不能用洛必达，因为上下求导后为\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1+\cos x}{1}\)极限不存在。
下面对于\(\frac{0}{0}\)型的情况，帮助大家直观理解一下洛必达法则为什么是函数的比值等于导数的比值。如下图\(f(x)\)和\(g(x)\)在某一点附近都趋于\(0\)。
当把零点附近的曲线放得很大之后，可以近似为直线。函数值的比值即竖直部分的比值，可以用水平距离乘以斜率来表示，对于\(f(x)\)来说为\(dx\cdot\frac{df}{dx}\)，对于\(g(x)\)来说为\(dx\cdot\frac{dg}{dx}\)，由于水平距离都是\(dx\)，所以函数值的比值等于斜率（导数）的比值。